Este ensaio tem como objetivo esclarecer – através da matemática - as dimensões da folha A4. Partirei dos dados da folha A0 que, devidamente recortada, determina as folhas que nela se originam. Não tratarei neste texto as idéias que deram nome à série e nem a(s) causa(s) que levou(aram) a escolha da área mencionada. Analisarei as dimensões da folha A0 e usarei o conhecimento matemático desenvolvido no Ensino Fundamental para construir as dimensões das folhas da série A, inclusive a folha A4.
Para iniciar, lembro que para calcular a área de um retângulo uso uma idéia simples: A área do retângulo é o produto da medida da largura pela medida da altura.
Área(retângulo) = comprimento x altura
Neste texto, como irei trabalhar com a idéia de uma folha de papel retangular, a altura será denominada “largura”.
Observe-se a figura 1 tal que, sejam “x” a medida da largura, “y” a medida do comprimento e 1 m2 a sua área S (Superfície).
Assim, são desconhecidos a largura e o comprimento da folha. Apenas, é conhecida a medida de sua superfície que é igual a 1 m2 .
Pretende-se, dessa forma, descobrir as dimensões exatas da folha A0, com informações sobre sua superfície e um critério justo para os cálculos envolvidos.
Considerando apenas estes dados, podem ser construídos infinitos retângulos, inclusive o quadrado em que a sua largura é igual ao comprimento e, neste caso seus lados medem 1 m .
Como exemplo, particularmente imagino um retângulo com o comprimento igual a 100 m e quero conhecer a sua largura fixando a sua área em 1 m2:
Seja a fórmula da área (S) do retângulo è S = xy
Substituindo os dados e calculando:
1 = x.100 => x = 1/100
x = 0,01 m = 10 cm
Neste caso, há um retângulo cujo comprimento mede 100 m e sua largura mede 10 cm .
Infere-se que, fixando a área e aumentando um dos lados diminui-se o outro e, então, há inúmeros retângulos com a mesma área com lados correspondentes diferentes.
Para evitar essa infinidade de retângulos, estabeleceu-se um critério, que apresento a seguir:
Figura 1
Considerando a largura “x” constrói-se um quadrado e calcula-se a medida de sua diagonal “D” utilizando o Teorema de Pitágoras[i]:
D2 = x2 + x2 = 2x2
D = xÖ2 |
.
Transportando a diagonal D para o prolongamento de um lado “x” do quadrado constrói-se, desta forma, o lado “y” do retângulo.
Então: y = D = xÖ2
Agora, percebe-se que não é um “y” qualquer, mas um “y” totalmente dependente do “x”. Ou seja, a razão entre o comprimento e a largura será sempre a Ö2. Em outras palavras, podemos dizer que “y” existe em função de “x”. E, já que dissemos função, então que fique claro que esta é uma função do 1º grau e como todas elas, quando colocamos em um gráfico cartesiano, o conjunto de seus infinitos pontos determinam uma reta e por isso, também é conhecida como função da reta.
Para lembrar (sem entrar com detalhes), uma função do 1º grau tem a seguinte estrutura:
y = ax + b, onde a ¹ 0 e a, b, y e x Î |R
a è coeficiente angular;
b è coeficiente linear.
Neste caso particular (dos lados do retângulo):
a = Ö2 e b = 0
y = Ö2.x
Para os lados do retângulo, existe uma restrição para a função dada: x > 0 e como conseqüência y > 0. De forma mais clara, é escrito assim: {x, y Î |R / x > 0}. Tal restrição é considerada por que não existe no plano medidas “negativas” para os lados ou então lados nulos de um retângulo.
Mesmo assim, teoricamente, é possível construir infinitos retângulos com lados de medidas positivas.
Para a construção da folha A0 de forma retangular, foi fixada sua área. A sua superfície deve ter um metro quadrado. O critério para a escolha dessa medida não é discutido neste texto por razões que fogem ao objetivo proposto.
Observa-se que os lados de uma figura (principalmente no plano) delimitam a sua superfície e, neste sentido, a medida dos lados determina o tamanho desta superfície.
Considerando os dados do problema: xy = S => xy = 1 m2 e, substituindo y pelo valor de D na fórmula da área do retângulo, tem-se: y = D = xÖ2
Como x determina y e o produto destes determinam S e, se S é conhecido, então x pode ser conhecido resolvendo uma equação. Ou seja, neste caso particular, o produto dos lados é igual à superfície.
Matematicamente falando, calcula tudo em uma única variável, que aqui é chamado de “x”.
S = xy = 1 è substituindo o valor do y, temos: xxÖ2 = 1 => x2 = 1/ Ö2
Veja, é uma equação do 2º grau, ou seja, uma equação quadrática que tem o seguinte formato:
ax2 + c = 0 (sem comentários sobre os detalhes)
No caso, apenas para comparar:
x2 – 1/Ö2 = 0
Neste instante, aplicam-se os conhecimentos adquiridos ao longo do Ensino Fundamental: resolução de equações do 2º grau, operações com radiciação e expoentes de mesma base.
Desenvolvendo e resolvendo adequadamente a equação, temos:
x2= (Ö2):2 = 21/2:2 = 21/2 – 1 => x2 = 2-1/2 è extraindo a Ö de ambos os termos è Öx2 = Ö2-1/2 => x =Ö2-1/2 = 2 -1/4 => x @ 0,8409
Salienta-se aqui que o resultado negativo não foi considerado, pois são medidas de comprimento, conforme mencionado anteriormente.
ou
x2 = 1/Ö2 = (Ö2)/2 = (21/2):2 => x = Ö(21/2):2 = (21/4): 21/2 = 21/4 – 1/2 = 2(1 – 2)/4 = 2-1/4 => x @ 0,8409
Ou, então:
S = x.y => 1 = x. x.Ö2 = x2Ö2 => x2 = 1/Ö2 = (Ö2) / 2 => x = (ÖÖ2) / Ö2 = [(ÖÖ2)Ö2] / 2 => x = (21/4 . 21/2 )/2= (23/4)/2 = 2(3/4) – 1 = 2-1/4 => x @ 0,8409
É mais prático se usar uma calculadora após a montagem conveniente:
S = x.y => 1 = x. x.Ö2 = x2Ö2 => x2 = 1/Ö2 = (Ö2) / 2 è calculadora è x2 = 0,7071... => x = Ö0,7071 è novamente a calculadora => x @ 0,8409
Pode-se, neste momento, calcular o lado “y” do retângulo substituindo “x” na fórmula da área:
S = 1 = x.y => y = 1/x = 1/0,8409 (usando a calculadora)
y = 1,1892 |
Então, estão calculadas, devidamente, as dimensões do retângulo, ou seja, o tamanho da folha A0:
Largura è x = |
Comprimento è y = |
As folhas da série A é compostas pelas folhas A0, A1, A2, A3, A4, A5...
A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) estabeleceu os seguintes critérios para construir as folhas denominadas série A:
· A folha inicial A0 tem as dimensões comprimento x largura correspondente aos lados do retângulo construído “y” e “x” respectivamente;
· A medida do comprimento da folha A1 corresponde à medida da largura da folha A0 e a medida da largura da folha A1 corresponde à metade da medida do comprimento da folha A0;
· A medida do comprimento da folha A2 corresponde à medida da largura da folha A1 e a medida da largura da folha A2 corresponde à metade da medida do comprimento da folha A1;
· A medida do comprimento da folha A3 corresponde à medida da largura da folha A2 e a medida da largura da folha A3 corresponde à metade da medida do comprimento da folha A2;
· E assim, sucessivamente.
A norma ABNT NBR 10068/87 normatiza as dimensões para a folha de desenho da série A.
Veja a tabela abaixo:
Tabela série A
Série | Comprimento (mm) | Largura (mm) | ||
A0 | y | 1189 | x | 841 |
A1 | x | 841 | y/2 | 594 |
A2 | y/2 | 594 | x/2 | 420 |
A3 | x/2 | 420 | y/4 | 297 |
A4 | y/4 | 297 | x/4 | 210 |
A seguir temos uma figura representando as dimensões das folhas da série A.
Concluído foram, após os devidos cálculos, as dimensões da folha A4, conforme relação a seguir:
· Largura: 210 mm e,
· Comprimento: 297 mm .
Hoje, com as Tecnologias da Informação em uso constante, quase não há a necessidade de impressão nos papéis. Um desenho mecânico construído em computador pode ser “inserido” em um torno informatizado e um operador não precisa ler e interpretar o desenho. Cartas comerciais (e outras) podem ser digitadas e enviadas por e-mail sem imprimir no papel.
Mesmo assim, entender que as folhas da série A foram fundamentais e contribuíram para o desenvolvimento dos desenhos técnicos em Arquitetura, Eletrônica, Mecânica, etc. faz parte da cultura humana. A folha A4 ainda é um dos formatos usado nas relações de comunicação escrita comercial e, suas dimensões não foram escolhidas aleatoriamente. Como visto, a Matemática contribuiu para a sua confecção.
Portanto, acredito que os conceitos matemáticos são ferramentas importantes para escolhas criteriosas e, principalmente nos desenvolvimento das ciências e tecnologias, independentemente se elas estão ficando obsoletas. Mesmo que sejam conceitos simples – como os mostrados aqui – a Matemática permite generalizar através de particularidades e vice-versa, e assim, é um critério imparcial e lógico nas soluções dos problemas da humanidade. Compreender e utilizar os conceitos envolvidos nos problemas é desenvolver o pensamento matemático.
Para finalizar, deixo uma pergunta para estimular a curiosidade: Qual a história da escolha da medida de área da folha A0?
.
[i] Teorema de Pitágoras. No triângulo retângulo: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
